Олексій Шадрін народився 1993 року у Харкові, у сім’ї музикантів.
У семирічному віці вступив у Харківську спеціалізовану музичну школу у клас професорки Олени Щелканоцевої. 2010 року вступив у Ганноверську вищу школу музики та театру у клас професора Леоніда Горохова. З 2016 року – студент Кроненбергської академії, клас професора Франса Гельмерсона. У 2016 та 2018 роках Олексій Шадрін активно брав участь у віолончельних майстер-класах академії, де 2016 року отримав стипендію Бориса Пергаменщикова. У 2020 році вступив у Queen Elisabeth Music Chapel у клас Гарі Хоффмана.
2022 року отримав четверту премію на Queen Elisabeth Competition. Вперше за всю історію конкурсу, який проводиться з 1937 року у Брюсселі, український віолончеліст став його лауреатом. 2018 року отримав третю премію на конкурсі «Празька весна». У 2012 році отримав першу премію на Міжнародному музичному конкурсі імені Миколи Лисенка у Києві.
Неодноразово виступав як соліст та у складі ансамблів в Україні та за кордоном.
Музикант грає на сучасному інструменті німецького майстра Haiko Seifert (Plauen).